- no title specified

Erradiazio elektromagnetikoa

Eremu elektrikoek eta magnetikoek energia eta momentua garraia dezakete espazioan zehar, uhin elektromagnetiko eran

Desplazamendu korrontea

Eremu magnetikoak bi iturri izan ditzake, mugimenduan dauden kargak edota eremu elektriko aldakor bat. Ideia honek Ampèreren legea orokortzen du Ampère-Maxwell-en ekuazioaren bidez

\oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{dl} = μ_{0} (I_{bar} + I_{d}) \to

Ampere-Maxwell-en legea

I_{d} \equiv ϵ_{0} \frac{d Φ_{E}}{dt} \to

Desplazamendu korrontea

I_{bar} \to

Eroapen korrontea

\oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{dl} = μ_{0} I_{bar} =

Ampère-ren legea

Baina eroale on baterako

(metaletarako) :

Gogoratu dezplazamendu bektorea (9. gaia - Elektrostatika)

Hutsean

Ohmen legea (s = 6x 107 (m)-1 Cu-rako)

Material batean, adibidez eroale batean

Ondorioz:

Desplazamendu korrontea

Adibidea

Demagun R erradioko diskoz osotutako kondentsadorea kargatzen ari dela denboran zehar. Kalkulatu prozesu honek induzitzen duen eremu magnetikoa xaflen artean eta hauetatik kanpo.

\vec{B} = \frac{μ_{0} I}{2 π r} \hat{u_{T}} r > R

\vec{B} = \frac{μ_{0} I}{2 π R^{2}} r \hat{u_{T}} r < R

Maxwell-en ekuazioak (hutsean)

\oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{dl} = μ_{0} (I_{bar} + ϵ_{0} \frac{d}{dt} \iint_{S} \vec{E} \cdot \vec{dS}) \to

∯_{S} \vec{E} \cdot \vec{dS} = \frac{Q_{bar}}{ϵ_{0}} \to

\oint_{C} \vec{E} \cdot \vec{dl} = - \frac{d}{dt} \iint_{S} \vec{B} \cdot \vec{dS} \to

Ampère-Maxwell-en legea: Eremu magnetikoak bi iturri ditu, korronte elektrikoa edota eremu elektrikoaren fluxuaren aldaketa

Gauss-en legea: kargak eremu elektrikoaren hobiak/iturriak dira

Eremu magnetikorako Gauss-en legea: Ez da monopolo magnetikorik existitzen

Faraday-en legea: Eremu magnetikoaren fluxuaren aldakuntza eremu elektrikoaren iturria da

Maxwell-en lau legeak Lorentz-en indarra ematen duen espresioarekin elkartzean, elektromagnetismoko lege GUZTIAK ondorioztatu daitezke.

∯_{S} \vec{B} \cdot \vec{dS} = 0 \to

Maxwell-en ekuazioak (materian)

\oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{dl} = μ (I_{bar} + ϵ \frac{d}{dt} \iint_{S} \vec{E} \cdot \vec{dS}) = μ (I + \frac{d}{dt} \iint_{S} \vec{D} \cdot \vec{dS}) \to

Ampère-Maxwell-en

legea

∯_{S} \vec{E} \cdot \vec{dS} = \frac{Q_{bar}}{ϵ} \to

Gauss-en legea

∯_{S} \vec{B} \cdot \vec{dS} = 0 \to

Eremu magnetikorako Gauss-en legea

\oint_{C} \vec{E} \cdot \vec{dl} = - \frac{d}{dt} \iint_{S} \vec{B} \cdot \vec{dS} \to

Faraday-ren legea

Maxwell-en ekuazioak materian formulatzeko, hutsaren permitibitatea eta iragazkortasunen truke materialen permitibitate eta iragazkortasuna erabili behar dira

Maxwell-en ekuazioak forma diferentzialean

rot \vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{B} = μ_{0} (\vec{j} + ϵ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) \to

Ampere-Maxwell-en legea

div \vec{E} = \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \to

Gauss-en legea

div \vec{B} = \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \to

Eremu magnetikorako Gauss-en legea

rot \vec{E} = \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \to

Faraday-en legea

Maxwell-en ekuazioak dibergentzia eta errotazionala deritzen eragileen funtzioan idatzi daitezke (hutsean).

Eremu bektorial baten diberjentzia

Interpretazio fisikoa:

Toki batean eremu bektoriala iturria edo hobiaren bezalako portaera duen.

\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \lim_{Δ V \to 0} \frac{\iint_{S (Δ V)} \vec{E} \cdot \hat{n} dS}{Δ V}

Diberjentzia

\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_{x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{y}}{\partial y} + \frac{\partial E_{z}}{\partial z}

Koordenatu kartesiarrak erabiliz gero:

\vec{\nabla} \cdot \vec{E} < 0

Eremu bektorial baten errotazionala

(\vec{\nabla} \times \vec{E}) \cdot \hat{n} = \lim_{A \to 0} \frac{1}{A} \oint_{C} \vec{E} \cdot d \vec{r}

Interpretazio fisikoa:

Toki batean eremu bektorialaren errotazioa eta errotazioaren norabide nagusia.

Errotazionala

\vec{\nabla} \times \vec{E} = ∣\begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{matrix}∣

Koordenatu kartesiarrak erabiliz gero:

Adibidea:

{(\vec{\nabla} \times \vec{v})}_{z}

Haizearen

abiaduraren

errotazionala

Uhin elektromagnetiko lauak

Eremu elektriko eta magnetikoa XY planoetan uniformeak dira

Eremu elektriko eta magnetikoa Z norabidean aldatzen dira soilik

XY planoan kokaturik, X norabidean korronte elektriko aldakor bat daraman xafla eroale lau batek, Z norabidean hedatzen diren uhin elektromagnetiko lauak sortzen ditu

Ampère-Maxwell-en legea

\begin{matrix} rot \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ - \frac{\partial B_{y}}{\partial t} = \frac{\partial E_{x}}{\partial z} \end{matrix}

Faraday-en legea

\begin{matrix} rot \vec{B} = μ_{0} (\vec{j} + ϵ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) \\ - \frac{\partial B_{y}}{\partial z} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial E_{x}}{\partial t} \end{matrix}

Uhin elektromagnetiko lauak

Eremu elektrikoa eta magnetikoa XY planoetan uniformeak diraEremu elektrikoa eta magnetikoa Z norabidean aldatzen dira soilik

XY planoan kokaturik, X norabidean korronte elektriko aldakor bat daraman xafla eroale lau batek, Z norabidean hedatzen diren uhin elektromagnetiko lauak sortzen ditu

Ampère-Maxwell-en legea

- \frac{\partial B_{y}}{\partial z} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial E_{x}}{\partial t}

- \frac{\partial B_{y}}{\partial t} = \frac{\partial E_{x}}{\partial z}

Faraday-ren legea

Uhin elektromagnetiko lauak

Eremu elektriko eta eremu magnetikoak uhin ekuazioa betetzen dute

Uhin elektromagnetiko lauak

E_{x} = E_{0} \cos (kz - ω t + ϕ)

B_{y} = B_{0} \cos (kz - ω t + ϕ)

k : Uhin zenbakia

 : maiztasun angeluarra

 : hasierako fasea

c = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ϵ_{0}}} = \frac{ω}{k} = 3 \times 10^{8} m / s :

hedatze abiadura

Eremu elektriko eta eremu magnetikoak Z norabidean argiaren abiaduraz hedatzen diren zeharkako uhinak dira

Eremu elektriko eta magnetikoa perpendikularrak dira: uhin elektromagnetikoak zeharkako uhinak dira

Adibidea

Frogatu uhin lau harmonikoentzat eremu elektrikoa eta magnetikoa fasean daudela. Frogatu halaber E=cB betetzen dela.

Adibidea

Uhin elektromagnetiko baten eremu elektrikoa

ekuazioak deskribatzen du.

a) Zein da uhinaren hedatze norabidea eta noranzkoa?

b) Nola idatzi daiteke uhin horren eremu magnetikoa y eta t-ren funtzioan?

c) Zein da E eta B-ren moduluen arteko erlazioa?

\vec{E} = E_{0} \sin (ky + ω t) \hat{k}

\vec{B} (y, t) = - \frac{E_{0}}{c} \sin (ky + ω t) \hat{i}

Energia eta intentsitatea

Uhin elektromagnetikoek garraiatzen duten energia Poynting-en bektorearen modulua da. Garraioa bektoreari paraleloa zaion norabidean ematen da.

Uhinaren intentsitatea: hedapen abiadurari perpendikularra zaion gainazal unitatea zeharkatzen duen batez besteko potentzia, hau da, denbora eta azalera unitateko energia-fluxua (W/m2)

Eremu elektromagnetikoaren energia dentsitatea

u = u_{B} + u_{E} = ϵ_{0} E^{2} = \frac{B^{2}}{μ_{0}} = \frac{S}{c} \to

〈 u 〉 = \frac{1}{2} ϵ_{0} E_{o}^{2} = \frac{1}{2} \frac{B_{0}^{2}}{μ_{0}} \to

Uhin harmonikoaren batez besteko energia dentsitatea

I = 〈 u 〉 c = 〈 S 〉 \to

Uhin elektromagnetikoaren intentsitatea

\begin{matrix} u_{E} = \frac{1}{2} ϵ_{o} E^{2} \\ u_{B} = \frac{1}{2 μ_{0}} B^{2} \end{matrix}

Adibidea

Eguzkitiko energiak 1000 W/m2 helarazi ohi du azalera-unitateko eta denbora-unitateko, lurrazaleko gune batera. (Energia hori neurri handi batean erradiazio elektromagnetiko ikusgarri eta infragorri hurbil uhin luzeretan datza.) Erabili datu hori, energia hori ekoizten duten uhinen eremu elektrikoen eta magnetikoen anplitudeak zenbatesteko.

E_{0} = 0,9 \times 10^{3} V/m

B_{0} = 0,3 \times 10^{- 5} T

Momentua eta erradiazio presioa

Uhin elektromagnetikoek poynting-en bektoreari proportzionala zaion momentua garraiatzen dute, bektoreari paraleloa zaion norabidean

Erradiazio presioa: uhin batek azalera eta denbora unitateko garraiatzen duen batez besteko momentua

Eremu elektromagnetikoaren

momentua

p = \frac{U}{c} \to

Uhin elektromagnetikoaren

erradiazio presioa

P_{r} = \frac{I}{c} = \frac{〈 S 〉}{c} \to

Xurgapena

Islapena

Δ \vec{p_{x}} = \vec{p_{u}}

Δ \vec{p_{x}} = 2 \vec{p_{u}}

Adibidea

Demagun esku-argi batek 0,6 m-ko diametroa eta 104 W-eko potentziako sorta zilindrikoa igortzen duela. Zer erradiazio-presio eragingo dio ispilu metaliko bati, ispilua sortarekiko perpendikularki kokaturik badago? Baztertu sortaren zabaltzea.

P_{r} = 2,4 \times 10^{- 4} {N/m}^{2}

Adibidea

50 W-eko bonbilla batek uhin elektromagnetiko esferikoak emititzen ditu espazioaren norabide guztietan. Kalkulatu bonbillatik 3 m-tara:

a) Intentsitatea

b) erradiazio presioa

c) Eremu elektriko eta magnetikoaren modulua.

I = 0,44 {W/m}^{2}

P_{r} = 1,5 \times 10^{- 9} Pa

E = 18 \sin ω t V/m

B = 6,1 \times 10^{- 8} \sin ω t T

Erradiazio dipolarra

Azeleraturiko kargek uhin elektromagnetikoak sortzen dituzte

Espektro elektromagnetikoa

Polarizazioa

Polarizazio lineala

Polarizazio zirkularra

Polarizazio eliptikoa

\begin{matrix} \vec{E} = E_{0} \sin (kz - ω t + ϕ) \hat{u_{E}} \end{matrix}

\begin{matrix} \vec{E} = E_{0} \sin (kz - ω t + ϕ_{1}) \hat{i} + \\ E_{0} \sin (kz - ω t + ϕ_{2}) \hat{j} \end{matrix}

\begin{matrix} \vec{B} = - B_{0} \sin (kz - ω t + ϕ_{2}) \hat{i} + \\ B_{0} \sin (kz - ω t + ϕ_{1}) \hat{j} \end{matrix}

\begin{matrix} \vec{E} = E_{1} \sin (kz - ω t + ϕ_{1}) \hat{i} + \\ E_{2} \sin (kz - ω t + ϕ_{2}) \hat{j} \end{matrix}

\begin{matrix} \vec{B} = - B_{2} \sin (kz - ω t + ϕ_{2}) \hat{i} + \\ B_{1} \sin (kz - ω t + ϕ_{1}) \hat{j} \end{matrix}

Adibidea

Uhin elektromagnetiko baten eremu elektrikoa

ekuazioak deskribatzen du.

a) Aurkitu dagokion eremu magnetikoaren espresioa

b) Kalkulatu

\vec{E} = E_{0} \sin (kx - ω t) \hat{j} + E_{0} \cos (kx - ω t) \hat{k}

\vec{E} \cdot \vec{B}, \vec{E} \times \vec{B}, \vec{E} \cdot \vec{E}, \vec{B} \cdot \vec{B}

\vec{B} = B_{0} \sin (kx - ω t) \hat{k} - B_{0} \cos (kx - ω t) \hat{j}

\vec{E} \cdot \vec{B} = 0

\vec{E} \times \vec{B} = E_{0} B_{0} \hat{i}

Uhin hauek polarizazio zirkularra dutela esaten da

\vec{E} \cdot \vec{E} = E_{0}^{2}

\vec{B} \cdot \vec{B} = \frac{E_{0}^{2}}{c^{2}}

Polarizazioa

Malus-en legea: Argiak polarizatzaile lineala zeharkatzean, eremu elektrikoa ardatz polarizatzailean proiektatzen da

I_{2} = I_{1} \cos^{2} θ = \frac{I_{0}}{2} \cos^{2} θ